Признак Коши

Пусть $\forall{n \in \mathbb{N}}~~ a_{n} > 0$, тогда: - Если $\sqrt[n]{a_{n}} \leq q < 1,$ то $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ - сходится - Если $\sqrt[n]{a_{n}} \geq 1,$ то $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ - расходится

$$\sqrt[n]{a_{n}} \leq q < 1 \implies a_{n} \leq q^{n} < 1$$ Если ${} \sqrt[n]{a_{n}} \leq q < 1$, то $a_{n} \leq q^{n} < 1$, а значит $\sum\limits_{n=1}^{\infty} q^{n}$ сходится и по признаку сравнения сходится $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ $$\sqrt[n]{a_{n}} \geq 1 \implies a_{n} \geq 1$$ Если $\sqrt[n]{a_{n}} \geq 1$, то $a_{n} \geq 1$, а значит $a_{n} \underset{n \to \infty}{\nrightarrow} 0$ - не выполняется необходимое условие и значит ряд расходится. $\square$

Пусть $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = q$, тогда: - Если $q < 1$, то $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}$ сходится - Если $q > 1$, то $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ расходится

Аналогично доказательству предельного признака Даламбера $\square$